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高等数学 连续性和可导性如何证明

如图

x^2sin1/x为有界乘以无穷小,结果0,即极限0和函数值0相等 ,所以连续。导数端点处,定义证明 y'=(x^2sin1/x-0)/x=xsin1/x结果0,常数导数0,所以可导。结果连续,可导, 对吧?

(函数图象)

函数在某点处的左右极限存在且都等于函数值,则函数在该点连续;如果不连续,则直接判定不可导。在连续的基础上,若该点处左右导数存在且相等,则该点处可导。本题解法如下:

不会

分段函数在分段点分左右证明没问题。给你举个连续但不可导的反例,分f(x)=|x|,在x等于0处不可导,但却在定义域连续,如果把连续可导,以图像来分析的话,可导的函数是平滑的,或者说没有尖角。

这道题先讨论连续性,左右极限值相等且等于函数y在x=0的值,所以连续,然后又求左右导数,得出二者不相等,所以不可导。

因为有条件 f(x+1)=2f(x) 即f(x)=1/2*f(x+1) 也就是说在[-1,0]上的值和在[0,1]上的值一一对应 即f(x)在[-1,0]的每个值是二分之一倍的f(x+1) x+1是在[0,1]上的 所以可以将x+1带入直接运算

假设前面你都看懂了。划线部分的意思是: 若f(x0) > 0,则在 |x -x0| < δ 内, |f(x)| = f(x),而 f(x) 在 x0 处可导,当然 |f(x)| 在 x0 处可导; 若f(x0) < 0,则在 |x -x0| < δ 内, |f(x)| = -f(x),而 -f(x) 在 x0 处可导,当然 |f(x)| 在 ...

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