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高等数学 连续性和可导性如何证明

(1)函数的连续性定义有三个条件: f(x)在x=x0点有定义;f(x)在x→x0时极限存在;极限值等于函数值 此外,还有个命题,基本初等函数在其定义域中连续,初等函数在其定义区间中连续. 因此,判断函数的连续性,一般先观察函数是否为初等函数(由基本初...

如图

一个函数在某点连续的定义是:左极限等于右极限等于此点的函数值本身。只要算出一个点的这三个值,看是否相同就好了。 一个函数在某点是否可导要看这个点的到导数值是否存在。当这个函数在这一点的附近有定义域,并且向这个点趋近的时候,导数值...

x→1-时,f(x)=1/(x-1)→-∞,所以x→1时,f(x)没有极限,所以f(x)在x=1不连续,从而也不可导。

函数在某点处的左右极限存在且都等于函数值,则函数在该点连续;如果不连续,则直接判定不可导。在连续的基础上,若该点处左右导数存在且相等,则该点处可导。本题解法如下:

假设前面你都看懂了。划线部分的意思是: 若f(x0) > 0,则在 |x -x0| < δ 内, |f(x)| = f(x),而 f(x) 在 x0 处可导,当然 |f(x)| 在 x0 处可导; 若f(x0) < 0,则在 |x -x0| < δ 内, |f(x)| = -f(x),而 -f(x) 在 x0 处可导,当然 |f(x)| 在 ...

(函数图象)

不会

可导性是在x0处左右导数相等且等于f(x)在x0处的导数值则在x0处可导,连续性就是在x0处的左右极限存在且相等并且等于f(x0)就在x0处连续

F(x) = ∫(0->x) f(t) dt 明显 F(x) 连续, 可导 0≤x1) x dt = 1/2 F(1+) =∫(0->1) f(t) dt + lim(x->1+) ∫(1->x) f(t) dt =1/2 +lim(x->1+) ∫(1->x) (4-t) dt = 1/2 -lim(x->1+) (1/2)(4-t)^2|(1->x) = 1/2 -lim(x->1+) (1/2)( (4-x)^2 - 9) = 1/...

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