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高数求解,讨论无穷级数(n=1)ln[1+(%1)^(n%1)/n^p]...

关于无穷乘积有一个重要的判别法:已知sum(a_n)收敛,那么prod(1+a_n)收敛的充要条件是sum(a_n^2)收敛.p>1/2就是这里来的.

解:设an=ln[1+(-1)∧n/n∧p],∵当n→∞时,ln[1+(-1)∧n/n∧p]~(-1)∧n/n∧p,∴an与(-1)∧n/n∧p有相同的敛散性. 而,p>0时,(-1)∧n/n∧p收敛、p≤0时,(-1)∧n/n∧p发散, ∴p>0时,ln[1+(-1)∧n/n∧p]收敛、p≤0时,ln[1+(-1)∧n/n∧p]发散. 供参考.

设y=ln(1+x)/(1+x)(x>2) 因y'=[1-ln(1+x)]/(1+x)^2<0 从而y单调下降 又lim(x→+∞)ln(1+x)/(1+x)=lim(x→+∞)1/(1+x)=0 所以ln(1+n)/(1+n)单调下降且趋于0,故交错级数收敛 怕你混淆,再说一下吧,此级数是条件收敛,不是绝对收敛.因 |(-1)^n * ln(1+n) / (1+n)|>1/n 而∑1/n发散,故原级数不是绝对收敛

1)由于 lim(n→∞)|{1+[(-1)^n]/(n^p)}|/[1/(n^p)] = lim(n→∞)|[(-1)^n]/(n^p)|/[1/(n^p)] = 1, 故当 p>1 时,级数 ∑[1/(n^p)] 收敛,故原级数 ∑{1+[(-1)^n]/(n^p)} 绝对收敛;而当 p≤1 时,级数 ∑[1/(n^p)] 发散,故原级数非绝对收敛. 2)当 p≤

limln(1+1/n)/(1/n)=limnln(1+1/n)=limln(1+1/n)^n=limlne=1级数发散

1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+.+1/n(n+1)(n+2)+ sn=1/2*[1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+1/3*4-1/4*5+..+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] =1/2*[1/2-1/(n+1)(n+2)] =1/4-1/2(n+1)(n+2) limsn=1/4 所以 级数的和为1/4.

记f(x)=ln(1+x)-x/(1+x),则f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2,当x>0时f'(x)>0,所以当x>0时,f(x)严格递增,所以x>0时,f(x)>f(0)=0,即ln(1+x)>x/(1+x).取x=1/n就是你的问题.

交错项级数条件收敛.符合 un+1小于un,limun=0所以收敛.因为其通项绝对值大于1/(n+1),所以条件收敛

当p>1时,1/n^plnn<1/n^p,而级数1/n^p收敛,因此原级数收敛.当p<=1时,先考虑p=1时,可以用积分判别法:级数1/(nlnn)与广义积分(从2到无穷)dx/(xlnx)同敛散.而积分(从2到无穷)dx/(xlnx) =0.5(lnx)^2|上限无穷下限2 =正无穷,发散,因此 原级数在p=1发散.当p<1时,1/(n^plnn)>1/(n*lnn),故级数在p<1时发散.综上,p>1时收敛,p<=1发散.

1/n^(1/2)-1/(n+1)^(1/2)=[(n+1)^(1/2)-n^(1/2)]/[n^(1/2)*(n+1)^1/2]=1/{[n^(1/2)*(n+1)^1/2*[(n+1)^(1/2)+n^(1/2)]} lim=1/[2*n(3/2)] 当n无穷大时,增加的n*1/[2*n(3/2)]趋于0,所以是收敛的.增加的单项乘以n(无穷)后仍然趋于0,就是收敛的.

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