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高数讨论函数在x=0处的连续性和可导性,如图

x≥0时,y=|x|=x x=0时,y=0 x≤0时,y=|x|=-x x=0时,y=0 函数在x=0处连续。 x≥0时,y'=x'=1 x≤0时,y'=(-x)'=-1 1≠-1 函数在x=0处不可导。

首先,由于 故 f(x)在x=0处连续; 其次,再由 从而,f(x) 在x=0处可导,且导数为0.

因为|sin(1/x)|≤1,有界 lim(x→0)xsin(1/x)=0 所以连续 lim(x→0)[xsin(1/x)-0]/(x-0)=lim(x→0)sin(1/x)不存在 所以不可导 因为|sin(1/x)|≤1,有界 lim(x→0)x²sin(1/x)=0 所以连续 lim(x→0)[x²sin(1/x)-0]/(x-0)=lim(x→0)xsin(1/x)=0 ...

如图利用连续和可导的定义可说明f(x)在x=0处连续可导且导数为0,其中要用到一个性质:无穷小量乘有界量是无穷小量。

要在x=0处连续,那么函数在0处的左右极限要都存在并且和该点的函数值相等;而可导性是建立在连续的基础上的(可导必连续),要求函数在x=0处左右导数均相等。原函数可表达为y=-sinx(-π

x^2sin1/x为有界乘以无穷小,结果0,即极限0和函数值0相等 ,所以连续。 导数端点处,定义证明 y'=(x^2sin1/x-0)/x=xsin1/x结果0,常数导数0,所以可导。 结果连续,可导, 对吧?

因为这里书写不便,故将我的答案做成图像贴于下方,谨供楼主参考(若图像显示过小,点击图片可放大)

荣获第9届四川电视节“金熊猫奖”——最佳动画系列片奖2010年荣获

答案在插图:这种题(特别是讨论某点时的连续和可导)的关键就从定义出发来判断函数在某点的连续性和可导性。

1.函 1.函数的连续性:指的是函数的左极限等于函数的右极限等于0处的函数值。2.函数可导的话指的是函数的左导数等于函数的右倒数,由于是分段函数所以,必要的情况下要使用定义法。

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