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矩阵等价和相似

1. 矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件,相似、合同、等价是等秩的充分条件; 2. 矩阵等价是相似、合同的必要条件,相似、合同是等价的充分条件; 3. 矩阵相似、合同之间没有充要关系,存在相似但不合同的矩阵,也存在合同但不相似的矩阵. 总结起来就是:相似=>等价,合同=>等价,等价=>等秩

等价(只有秩相同)>合同(秩和正负惯性指数相同)>相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同),矩阵亲密关系的一步步深化.相似矩阵必为等价矩阵,但等价矩阵未必为相似矩阵 ,PQ=EPQ=E 的等价矩阵是相似矩阵.希望对您有所帮助

矩阵等价:对于矩阵A(m*n)来说,有可逆的矩阵P,Q使PAQ=B,那么B就与A等价,实质上就是A经过有限次的初等变换得到B.设A,B为n阶矩阵,如果有n阶非奇异矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.由上述定义可以,相似矩阵必须为相同的方阵;等价矩阵只需要(m*n)相同.可见,相似矩阵就是等价矩阵,但是其定义比等价矩阵严格.

两矩阵等价:设同型矩阵A,B.若A经过有限次的初等变换可以得到B,则称矩阵A与B等价.两矩阵相似,则必然两矩阵等价.反之未必然.两矩阵等价的充要条件是:设矩阵A,B均为m行n列的矩阵.A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ.矩阵等价的基本性质有:1. 自反性:任意矩阵均与自身等价;2. 对称性:若A与B等价,则B与A等价;3. 传递性:若A与B等价,且B与C等价,则A与C等价.

可以认为这两个等价的意思是一样的吧 等价的定义是:存在可逆矩阵p和q,使qap=b,则称矩阵a与矩阵b等价 而相似的定义则是:存在可逆矩阵p,使p^(-1)ap=b,则称矩阵a与矩阵b相似,(p^-1表示p的逆矩阵) 合同的定义:存在可逆矩阵p,使(pt)ap=b,则称矩阵a与矩阵b合同,(pt表示p的转置) 从上面的式子里可以看出,p^(-1)以及pt都是q的特殊情况,所以,如果两个矩阵相似,或者合同的话,它们一定是等价的 也就是说相似,合同都是等价的特殊情况

等价指的是两个矩阵的秩一样 合同指的是两个矩阵的正定性一样,也就是说,两个矩阵对应的特征值符号一样 相似是指两个矩阵特征值一样.相似必合同,合同必等价.

这三者都是矩阵之间的等价关系,但是三者没有必然联系.矩阵等价,说明存在可逆矩阵,使得矩阵变换后相等.矩阵相似,说明有完全相同的特征值(反之不一定成立) 矩阵合同,说明可以化成相同的标准型.

不一样 若有可逆阵P和Q使PAQ=B,称A和B等价,记做A~B 若存在可逆矩阵P使得P^-1AP=B,称A和B相似 区别:相似一定等价,等价未必相似 A和B相似要求A和B都是同型方阵,等价矩阵没有这个要求

矩阵等价:对于矩阵a(m*n)来说,有可逆的矩阵p,q使paq=b,那么b就与a等价,实质上就是a经过有限次的初等变换得到b.设a,b为n阶矩阵,如果有n阶非奇异矩阵p存在,使得p^(-1)*a*p=b成立,则称矩阵a与b相似,记为a~b.由上述定义可以,相似矩阵必须为相同的方阵;等价矩阵只需要(m*n)相同.可见,相似矩阵就是等价矩阵,但是其定义比等价矩阵严格.

不一样."等价关系"指的是满足自反、对称、传递三种性质的关系,适用于所有的学科、所有的数学分支.矩阵的等价指的是可以通过初等变换互换.至于为什么这样称呼,已经不知道原因了.可以给你一种便于理解的解释:等价关系是一种比线性代数深奥的学科(抽象代数)研究的内容,更一般、更抽象.首次研究初等变换的数学家在不懂得抽象代数的情况下命名了矩阵的等价关系.后来一些人研究合同、相似,发现连同原来的矩阵等价关系一样都满足抽象代数里的等价性质,于是又把一般的等价关系写到线性代数教材里,这才弄得这么乱.

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