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矩阵等价性质

它们的秩相同 两个矩阵可以相互通过初等变换得到 A和B为同型矩阵 矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性) 矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性) 矩阵A和B等价,那么IAI=KIBI.(K为非零常数) 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

反身性:矩阵A和A等价 对称性:矩阵A和B等价,那么B和A也等价 传递性:矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价

定义:若由A经过一系列初等变换可得到矩阵B ,则称A与B等价. 若A与B等价,则B与A等价. 若A与B等价,B与C等价,则A与C等价. A与B等价<==>秩(A)=秩(B) A与B等价<==>A与B有相等的等价标准形 A与B等价<==>存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B

A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ,那么AB秩相等.而AB相似是存在可逆阵P使B=P-1AP,由此可见相似的结论强于等价,具有的性质更多了.比如特征值相同,行列式相同

矩阵等价:在线性代数和矩阵论中,有两个m*n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=Q-1AP(P是n*n阶可逆矩阵,Q是m*m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等价关系.也就是说,存在可逆矩阵,A经过有限次的初等变换得到B.性质1.矩阵A

对矩阵来讲所谓的等价变换就是X->PXQ, 其中P和Q是可逆矩阵 这只能保持秩不变, 惯性指数是会变的 比如1 00 1<->1 00 -1 诸如特征值, 行列式之类的, 反正你没听说过这东西在等价变换下不变的都"有可能"会变, 不要刻意去背结论

下面是充分必要条件:1.行列式不等于零2.等价标准形是单位矩阵3.可以表示成初等矩阵的乘积4.AX=0只有零解5.行(列)向量组线性无关6.行(列)向量组构成R^n的基7.特征值都不为0

一般是先定义矩阵的等价.两个矩阵等价是指,一个矩阵经过初等变换能够变成另外一个矩阵(还可以细分为行等价(只用初等行变换)和列等价(只用初等列变换)). 因为向量组可以组成矩阵,反过来矩阵又存在行向量组和列向量组,所以可以利用矩阵的等价来定义向量组的等价(只要把两个向量组都做成矩阵即可).一般定义向量组的等价,是用另外一个说法,就是“相互线性表示”. 向量组a:a1,a2,,am与向量组b:b1,b2,,bk等价: 向量组a中的每一个向量都可以由向量组b线性表示;向量组b中的每一个向量也可由向量组a线性表示. 一般不讨论两个向量的等价,如果按照定义来理解的话,就是两个向量的元素对应成比例.

两个矩阵等价是指他们相互之间可以通过初等变化相互转化.两个等价矩阵的特征值肯定是相同的,特征向量是同向的.

向量组的等价是两个向量组能够互相线性表示,也就是两个向量组的维数相同,但向量个数并不一定相同,他们拼成的矩阵的列数也并不一定相同.而矩阵的等价是可用初等变换把一个矩阵化为另一个矩阵,这要求两个矩阵的行数与列数都相同.两个矩阵等价,并不能说明它们的列向量组等价.例如矩阵A的第一列是(1,0)^T,第二列是(0,0)^T,矩阵B的第一列是(0,1)^T,第二列是(0,0)^T,则矩阵A与B等价,但A的列向量组与B的列向量组不等价.

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