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如何求矩阵的n次方

思路1:若r(a)=1则a能分解为一行与一列的两个矩阵的乘积,用结合律就可以很方便的求出a^n 思路2:若a能分解成2个矩阵的和a = b + c而且bc = cb则a^n = (b+c)^n可用二项式定理展开,当然b,c之中有一个的方密要尽快为0 思路3:当a有n个线性无关的特征向量时,可用相似对角化来求a^n 思路4:通过试算a^2 a^3,如有某种规律可用数学归纳法 哥专业不?

(1) 试乘, 找规律, 再用归纳法证明(2) 表示为 A=B+C 的形式其中 B,C 可交换, 且 B 的幂次容易计算, C 的低次幂等于0此时 A^k = (B+C)^k 可用二项式公式展开(3) 特征值特征向量法

两种方法:第一,适合于初学者,那就是先求2次方,再求3次方,找规律.第二种,适合于考研和对于线性代数有一定基础者,那就是先将这个矩阵相似对角化,并且找到对应的矩阵,然后再直接n次方,之后再用矩阵的乘法还原就可以了.

矩阵是不能这样的求N次的,只有方阵才行,即行的数目和列的数目相等才行,如下,记A为:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33A^2=A*A=a11 a12 a13 a11 a12 a13a

第1题很简单,是对角阵 直接求对角线元素的n次方,即可.第3题1 10 1 是初等矩阵,利用其初等行变换的意义:将第2行加到第1行 可以很快得到幂等于1 n0 1 当然也可以使用数学归纳法得到上面的答案.

如果可以对角化,A=P*D*P-1,那么A^n=P*(D^n)*P-1 如果不行,可以比如说写成两个可交换矩阵的和,再用二项式展开之类的,方法就很多了,一下子说不清.

矩阵求N次方,就只能通过算出来几步,然后找规律.具体过程如下,不懂可追问.

一般的结论是:如果m阶矩阵A的特征值是λ1,λ2,,λm,则A^n的特征值是λ1^n,λ2^n,,λm^n.

A可以转化为:向左转|向右转 因此,A^n为 向左转|向右转 也就是二项式展开,当n-k>2时,后面那个矩阵就变成0了.因此展开之后实际就有3项.这种方法对于4阶矩阵仍成立,相比找规律要严谨一些.追问 向左转|向右转 这一步看不清楚,怎么得出来的?

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