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怎样用对称性与奇偶性计算二重积分

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称,积分区间是否对称,如果可以就可以用对称性,只用积分一半再乘以2 奇偶性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否具有奇偶性,积分区间是否对称,如果奇函数则积分为0为偶函数则用对称性

如果积分区域关于y(x)轴对称,面被积函数是关于y(x)的奇函数,那么结果是零 如果积分区域关于y(x)轴对称,面被积函数是关于y(x)的偶函数,那么结果是是二倍的一半区域

## 奇偶对称性注意积分区域d关于x轴即直线y=0对称,所以考察被积函数关于y的奇偶性即可(此时x相对y仅仅是一个常数),具体方法为使用奇函数的定义式:向左转|向右转

举例: ∫∫(x∧3cos(y∧2)+y)dxdy,积分区域D为曲线y=x∧2,y=4x∧2,y=1围成的封闭区域

一个是积分区域,另一个是被积函数,这两个不是一回事,比如说f(x,y)= xy,显然f(-x,y)= -xy 那么f(x,y)+f(-x,y)=0 这时候f(x,y)关于x就是奇函数,因为只对x进行讨论的时候,就把y看作是常数,而对于f(x,y)=xy,f(x,y)=f(-x,y),这时候f(x,y)关于x就是偶函数 在对奇函数积分过后就得到了偶函数,那么显然代入互为相反数的上下限相减就是0 所以在积分区域D1和D2关于y轴对称,被积函数关于X为奇函数时,∫∫ (D1+D2) f(x,y)=0

二重积分主要是看积分函数的奇偶性,如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶,如果为奇函数,这为0,偶函数这是其积分限一半的2倍.如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x的奇偶.三重积分也有奇偶性,但是有差别,要看积分区域对平面的对称性,即 xoy xoz yoz 如果还不清楚,可以看一下这个网站:http://wenku.baidu.com/link?url=_hMHGB3tYcng8Un-ydwoQS2OUM1j9rHrZpjvTBwplSFvz5sH1oUyZr2WNK4tPX5VhvcZEIOxtI5UTLabN1MSWn1zpK7wtYDE_SYdhBqXt-S 望君采纳,谢谢~

∫∫(y^2+3 x-6y+9)dx=∫∫(y+9)dxdy+∫∫3xdxdy-∫∫6ydxdy圆关于x y对称,所以只有第一项有效.

因为没有y,所以你把y换成-y函数不变,认为它是y的偶函数,所以可以用奇偶性,再次二倍

我只知道奇0偶倍

被积分区域关于X对称时 如果该函数关于X为奇函数时 为0;为偶函数时 为2倍; 对Y 同理;被积分区域关于Y=X对称时 可以交换X,Y 积分大小不变

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