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怎样用对称性与奇偶性计算二重积分

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称,积分区间是否对称,如果可以就可以用对称性,只用积分一半再乘以2 奇偶性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否具有奇偶性,积分区间是否对称,如果奇函数则积分为0为偶函数则用对称性

如果积分区域关于y(x)轴对称,面被积函数是关于y(x)的奇函数,那么结果是零 如果积分区域关于y(x)轴对称,面被积函数是关于y(x)的偶函数,那么结果是是二倍的一半区域

举例: ∫∫(x∧3cos(y∧2)+y)dxdy,积分区域D为曲线y=x∧2,y=4x∧2,y=1围成的封闭区域

二重积分主要是看积分函数的奇偶性,如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶,如果为奇函数,这为0,偶函数这是其积分限一半的2倍.如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x的奇偶.三重积分也有奇偶性,但是有差别,要看积分区域对平面的对称性,即 xoy xoz yoz 如果还不清楚,可以看一下这个网站:http://wenku.baidu.com/link?url=_hMHGB3tYcng8Un-ydwoQS2OUM1j9rHrZpjvTBwplSFvz5sH1oUyZr2WNK4tPX5VhvcZEIOxtI5UTLabN1MSWn1zpK7wtYDE_SYdhBqXt-S 望君采纳,谢谢~

## 奇偶对称性 注意积分区域D关于x轴即直线y=0对称,所以考察被积函数关于y的奇偶性即可(此时x相对y仅仅是一个常数),具体方法为使用奇函数的定义式:

关于x或者y轴对称就可以转换到奇偶性,利用奇偶性性质,z=F(x,y),也相等

如果积分区域关于Y(X)轴对称,面被积函数是关于Y(X)的奇函数,那么结果是零如果积分区域关于Y(X)轴对称,面被积函数是关于Y(X)的偶函数,那么结果是是二倍的一半区域

∫∫(y^2+3 x-6y+9)dx=∫∫(y+9)dxdy+∫∫3xdxdy-∫∫6ydxdy圆关于x y对称,所以只有第一项有效.

因为D为y=x^2 ,y=4x^2,y=1围成的闭区域,区域关于y轴对称,而x^3cosy^2关于 x 是奇函数,所以x^3cosy^2在原积分区域积分的结果为0而y关于 x 是偶函数,所以y在原积分区域积分的结果为2倍的y轴右半轴的区域积分 1 4x^2所以原式=ll y dxdy =2 [ ( l dx ) * ( l y dy) ] 1/2 x^2 1 =2 l ( 15/2 * x^4 ) dx 1/2 =93/64 注:l 是积分的意思

二重积分的对称性主要是看被积函数与积分区域两个因素,若有对称性,则积分区域必定关于原点对称,如[-t,t].具体的对称性如下:1、当被积函数在积分区域内是奇函数,则积分关于原点对称,积分为0;2、当被积函数在积分区域内是偶函数,则积分关于坐标轴对称,积分可表示为2倍[-t,0]或2倍[0,t]上的积分.

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