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证明两题:设A和B均为n阶非零矩阵,且满足A^2+A=0,B^2+B=0,AB=BA=0,(1)证明...

(1)证明:A+A=0,A(A+E)=0,若r(A+E)=n,等式两端右乘(A+E)-1,得A=0,与已知A为n阶非零矩阵矛盾.所以r(A+E)同理 -1必是B的特征值.【评注】本题是利用秩来解答,根据特征值计算公式得出结论.若r(λE-A)若| λE-A| = 0,此时λ就

由已知得A+B = (A+B)^2 = A^2+B^2+AB+BA = A+B+AB+BA所以有AB+BA=0左乘A(A^2)B+ABA=0AB+ABA=0AB(E+A)=0因为A^2=A,所以A的特征值只能是0或1,故E+A可逆所以有 AB = 0.

“n阶矩阵”是方阵,不是方阵的话,一般写作m*n矩阵.R(A+B-n)=n说明A+B-E是可逆矩阵.又A(A+B-E)=A^2+AB-A=AB,所以R(A)=R(AB)≤R(B).同理,B(A+B-E)=BA,所以R(B)=R(BA)≤R(A).所以R(A)=R(B)

(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A+B因为A^2=A B^2=B所以AB+BA=0A^2=A于是A的特征值有b^2-b=0 =>b=0 或者b=1 (b是A的特征值)AB+BA=0左乘A得AB+ABA=0=>AB(E+A)=0因为A的特征值只能在0和1中选择 所以A+E的特征值只能在1和2中选择所以A+E行列式不等于0那么A+E不可逆 也就是说有 n个不相关的向量也就是说AB有n个基础解系 (因为AB(E+A)=0,可以把E+A看作AB的齐次方程的解)也就是AB的秩为0那么AB只能为0

A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B)==>AB+BA=0==>0=A^2B+ABA=AB+ABA,0=ABA+BA^2=ABA+BA===>ABA=-AB=-BA==>AB=BA

A^2+2AB+B^2=0,A(A+2B)=-B^2,-(B^-1)^2A(A+2B)=I(I是单位阵), 从而A+2B可逆,其逆矩阵为-(B^-1)^2A; -A(A+2B)(B^-1)^2=I,从而A可逆,其逆矩阵为-(A+2B)(B^-1)^2

由已知得a+b = (a+b)^2 = a^2+b^2+ab+ba = a+b+ab+ba所以有ab+ba=0左乘a(a^2)b+aba=0ab+aba=0ab(e+a)=0因为a^2=a, 所以a的特征值只能是0或1,故e+a可逆所以有 ab = 0.

A^2=A r(E-A)+r(A)=n.n=r(A+B-E)=r(B)>=r(A) 同理:n=r(A+B-E)=r(A)>=r(B)==>r(A)=r(B)

充分性:AB=BA A^2+B^2+2AB=A^2+B^2+AB+AB=A^2+B^2+AB+BA=(A^2+AB)+(B^2+BA)=A(A+B)+B(B+A)=A(A+B)+B(A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)^2; 必要性:(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+AB+AB=A^2+B^2+2AB.只有方阵才能取平方.

A^2=A <===>r(E-A)+r(A)=n.n=r(A+B-E)=<r(A-E)+r(B)=n-r(A)+r(B) <===>r(B)>=r(A)同理:n=r(A+B-E)=<r(A-E)+r(B)=n-r(A)+r(B) <===>r(A)>=r(B)==>r(A)=r(B)

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