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1%Cosx的四次方的原函数

∫(cosx)^4dx=∫[(1+cos2x)/2]^2dx=1/4∫[1+2cos2x+(cos2x)^2]dx=1/4∫dx+1/4∫2cos2xdx+1/4∫(cos2x)^2dx=x/4+C+1/4∫cos2xd(2x)+1/4∫[(1+cos4x)/2]dx=x/4+(sin2x)/4+C+1/4∫1/2dx+1/4∫(cos4x)/2dx=3x/8+(sin2x)/4+C+1/32∫4cos4xdx=3x/8+(sin2x)/4+C+1/32∫cos4xd(4x)=3x/8+(sin2x)/4+(sin4x)/32+C 解题的思路是将高次幂转换为低次幂!

解析:∫(cosx)dx= ∫(cosx)dx= ∫[(1+cos2x)/2]dx=(1/4)∫[1+2cos2x+(cos2x)]dx=(1/4)∫[1+2cos2x+(1+cos4x)/2]dx=(1/8)∫[2+4cos2x+(1+cos4x)]dx=(1/8)∫(3+4cos2x+cos4x)dx=(1/8)[3x+2sin2x+(1/4)sin4x]+C=(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

cos^4 x=(cos^2 x)^2=[(1+cos2x)/2]^2=(1/4)[1+2cos2x+cos^2 2x]=(1/4)[1+2cos2x+(1+cos4x)/2]=(1/8)[3+4cos2x+cos4x]积分=(1/8)[3x+2sin2x+(1/4)sin4x]=(1/32)[12x+8sin2x+sin4x]

原式等于∫(cosx)^4dx=∫[(1+cos2x)/2]^2dx=1/4∫[1+2cos2x+(cos2x)^2]dx=1/4∫dx+1/4∫2cos2xdx+1/4∫(cos2x)^2dx=x/4+C+1/4∫cos2xd(2x)+1/4∫[(1+cos4x)/2]dx=x/4+(sin2x)/4+C+1/4∫1/2dx+1/4∫(cos4x)/2dx=3x/8+

sin的4次方α-cos的4次方α=(sin的2次方α+cos的2次方α)(sin的2次方α-cos的2次方α)=sin的2次方α-cos的2次方α=2sin的2次方α-1=2*1/5-1=-3/5

(cosx)^4=((1+cos2x)/2)^2=1/4+cos2x/2+(cos2x)^2/4 =1/4+cos2x/2+(1/8)*(1+cos4x) 原函数为F(x)=3/8x+1/4sin2x+1/32sin4x+c

cosx^4=1/4*(cos2x^2-2cos2x+1)=1/4*(1/2*cos4x-2cos2x+1/2) ,积分得:1/32*sin4x-1/4*sin2x+x/8+C.

【(1+cos2x)/2】^2 然后把平方打开

设y=(cosx)的四次方是一个复合函数符合过程为:y=u的四次方,u=cosx因此y′=y′(u)*u′(x)=4(u的3次方)*(-sinx)=4(cosx的3次方)(-sinx)=-4sinx*cosx的3次方.

一般用降次法,将4次通过化简变成1次,再积分.(cosθ)^4=[(1+cos2θ)/2]^2=1/4[1+2cos2θ+(cos2θ)^2]=1/4[1+2cos2θ+(1+cos4θ)/2]=1/8[3+4cos2θ+cos4θ]积分则得原函数为:1/8[3θ+2sin2θ+1/4sin4θ]+C

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