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ln x 1 定积分

∫(0到1)ln(1-x)dx =-∫(0到1)ln(1-x)d(1-x) ∫lnxdx=xlnx-∫xdlnx =xlnx-∫x*1/x dx ==xlnx-∫dx =xlnx-x+C 代换 -∫ln(1-x)d(1-x) =-【(1-x)ln(1-x)-(1-x)+C】 则 -(1-x)ln(1-x)-(1-x)+C|(0,1) =1

令u=lnx,v'=1,则u'=1/x,v=x,于是由分部积分法得ln(x) 从1到n+1 的定积分=xlnx|(从1到n+1)-(1/x)与x乘积从1到n+1 的定积分=(n+1)ln(n+1)-(n+1)+1=(n+1)ln(n+1)-n

令f(x)=e^x-(1+x),x∈(0,1)f'(x)=e^x-1>e^0-1=1-1=0所以f(x)>f(0)=1-1=0即e^x>1+x从而∫(0,1)e^xdx>∫(0,1)(1+x)dx

容易证明,该广义积分收敛,那么就可以用无穷级数展开 ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-…… ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n从0到∞] x^n/(n+1) ∫[0->1] -∑[n从0到∞] x^n/(n+1)=-∑[n从0到∞]x^(n+1)/(n+1) | [0->1]=-∑[n从0到∞] 1/(n+1)=-(1+1/2+1/3+1/4+……)=-π/6 而且这是spence function,原式=-li2(1)=-π/6

∫(lnx)^n dx=x(lnx)^n-n∫(lnx)^(n-1) dx 我是按这个公式做的,结果怪怪的.能力有限,抱歉.

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1.解答过程如下:∫ln(x+1)dx=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C(C为积分常数) 代入上下限=ln2-1+ln2=2ln2-1 扩展资料:

2+c原式=∫xln(1+x^2)dx =(1/2)∫ln(1+x^2)d(1+x^2);2)t*lnt-(1/2)∫(1/t)*tdt =(1/2)(1+x^2)ln(1+x^2)+(1+x^2)/, 原式=(1/=1, u'=1/,v',v=t;t, 设1+x^2=t, 原式=(1/2)∫lnt dt, 用分部积分, 令u=lnt

先换元,用分部积分,∫lnxdx=xlnx-∫xd(lnx)=xlnx-∫dx注意这是一个广义积分,xlnx在0+附近用洛必达法则等于0,最后结果为1

分部积分法公式:∫ u dv = u*v - ∫ v du先计算不定积分: ∫ x ln(x+1) dx = ∫ ln(x+1) d(x/2) 采用分部积分法 = (x/2)ln(x+1)(1/2) ∫ x/(x+1) dx = (x/2)ln(x+1)(1/2) ∫ [x1 + 1/(x+1) ] dx = (x/2)ln(x+1)(1/2) [ x/2x+ln(x+1)] + C

∫ ln(x+1)dx=xln(x+1)-∫xdx/(x+1)=xlnx-∫dx+∫dx/(x+1)=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C=(x+1)ln(x+1)-x+C ∫[e,2e-1]=2eln(2e)-(2e-1)-(e+1)ln(e+1)+e=2eln(2e)-e+1-(e+1)ln(e+1) ∫xcosπxdx=(1/π)xsin(πx)-(1/π)∫sinπxdx=(1/π)xsinπx+(1/π^2)cosπx+C ∫[0,1]xcosπxdx=-1/π^2-1/π^2=-2/π^2

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