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x ArCtAnx等价无穷小推导

lim(x→0) arctanx/x=lim(x→0) [1/(1+x)]/1 0/0型,应用洛必达法则=lim(x→0) 1/(1+x)=1∴arctanx和x是等价无穷小

lim(x->0) (e^x-1)/x 令e^x-1=t x=ln(1+t) x->0,t->0 所以 原式=lim(t->0) t/ln(1+t)=lim(t->0)1/ln(1+t)^(1/t)=1/lne=1/1=1 所以 e^x-1的等价无穷小是x.

x-arcsinx的等价无穷小是(-1/6)x^3,与sinx-x一样 x-arctanx的等价无穷小是(1/3)x^3,与tanx-x一样 另外,x-ln(1+x)的等价无穷小是(1/2)x^2

∵arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……∴arctanx-x∽-x^3/3另一个类似

这个上下求导叫什么定理的我忘了..不过如果楼主还没有学到这个定理的话我想正确"答案"应该不是楼上这个方法..

证明令arctanx=tx=tant则lim (t/tant)=t/(sint/cost)=tcost/sint=cost=1∴等价

X→0时,arctanx~X.令arctanx=y,x=tany,x趋于0时,y趋于0,因此 lim arctanx/x=lim y/tany=lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)=1.即arctanx~x.等价无穷小在求极限时有重要应用,定理如下:设在x的某一变化过程中,α和β都是无穷小,且α~α',β~

tan3x/x=3(tan3x/3x)..极限为3*1=3

“arccotx”的等价无穷小量是π/2-x.等价无穷小量的公式:当x→0时,1. sinx=x;2. tanx=x;3. arcsinx=x;4. arctanx=x;5. 1-cosx~(1/2)*(x^2)=secx-1 ;6. (a^x)-1=x*lna ((a^x-1)/x~lna) ;7. (e^x)-1=x;8. ln(1+x)=x ;9. (1+bx)^a-1=abx;10. [(1+x)^1/n]-1=(1/n)*x;11. loga(1+x)=x/lna;12. (1+x)^a-1=ax(a≠0) .

可以洛,lim(x→0)arctanx/x=lim(x→0)1/(1+x^2)=1(arctanx)'=1/(1+x^2)

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