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x的x次方 sinx的x次方

不能用洛必达和泰勒 是解不了的. 何必和自己过不去呢 一次洛必达就行了啊 原式=lim(x->0)(1-cosx)/3x2

令a=x^x、b=x^(sinx),得:lna=xlnx、lnb=sinxlnx,∴(1/a)a′=lnx+x(lnx)′=1+lnx,∴a′=a+alnx=x^x+x^xlnx.(1/b)b′=cosxlnx+(1/x)sinx,∴b′=[cosxlnx+(1/x)sinx]x^(sinx).∴y′=(a+b)′=a′+b′=x^x+x^xlnx+[cosxlnx+(1/x)sinx]x^(sinx).

令y=(sin x)^x, y=x*sinx=sinx/(1/x) 下面极限过程都是x→+0.limy=lim[sinx/(1/x)]=(罗比达)=lim{cosx/sinx)/(-1/x)==lim(-x/sinx)=0limy=e^limy=e^0=1

指数代换,比如x^x=e^(xlnx),然后再求

lim x^six=lim e^(lnx*sinx)=e^(lim lnx*sinx),∵x->0+时,sinx~x,∴lim lnx*sinx=lim lnx*x=lim lnx÷(1/x)=0(罗比达法则),∴原式=1.

y=x^sinxlny=sinxlnxlimx->0 lny=lim lnx/(1/sinx)=lim (1/x)/(-cosx/(sinx)^2)=lim -(sinx)^2/(xcosx)=lim -2sinxcosx/(cosx-xsinx)=0/1=0所以limx^sinx=e^0=1

设y=x^sinx lny=sinx*lnx=lnx/(1/sinx) 利用洛必达法则=(1/x)/(-cosx/sin^x)=-sin^x/xcosx=2sinxcosx/(cosx-xsinx) 把x=0代入=0 所以lny的极限是0 因此y趋于1 所以X的SINX次方的极限是1

取对数,ln原式=lim(x→0+)xlnsinx=lim(x→0+)lnsinx/(1/x)=lim(x→0+)(cosx/sinx)/(-1/x^2)=lim(x→0+)-x^2/tanx=-lim(x→0+)x/tanx*x=-1*0=0 所以原式=e^0=1

y=x^xsinx,两边同时取常用对数lny=xlnx+lnsinx,然后对x求导,所以y'/y=1+lnx+cotx,所以y'=(1+lnx+cotx)x^xsinx

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